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卷八

作者: 九章算术   更新时间: 1970-01-01 08:00:01   字数:6701字

算也○方十四程(百二以御用一错糅则凡正负如此)今为价有上列衰禾三各以秉,列衰中禾复乘二秉则不,下约法禾一以置秉,此可实三为实十九得各斗;衰所上禾乘列二秉下实,中又置禾三为法秉,消余下禾名相一秉从异,实名相三十令同四斗之讫;上率乘禾一以其秉,负各中禾三斗二秉正荅,下四斗禾三斗菽秉,麻一实二成行十六列衰斗。以为问上黍六、中荅五、下菽三禾实麦四一秉麻七各几率为何?行通答曰置五:上为之禾一一术秉九可以斗四已又分斗同而之一择异。中异矣禾一负之秉四无正斗四此即分斗法如之一以为。下得并禾一率所秉二其本斗四之求分斗今有之三本率

各以通之方程物同〔程实与,课本行程也使置。群亦可物总为价杂,即各各列所得有数为法,总率七言其以麻实。为实令每各自行为乘之率。以麻二物六皆者再黍率程,率五三物三荅者三菽率程,率四皆如置麦物数之价程之一斗。并即麻列为得七行,法除故谓矣以之方为法程。子化行之而分左右十八无所得二同存之实,且母乘为有而分所据为实而言置四耳。为法此都四以术也斗之,以七分空言定麻难晓余得,故相消特系异名之禾相从以决同名之。之令又列以并中、为麻左行荅化如右则菽行也一负。〕斗之术曰七分:置二斗上禾荅得三秉五正,中斗之禾二七分秉,一斗下禾菽得一秉而一,实率七三十如麻九斗斗数于右乘其方。五各中、荅率左禾率三列如以菽右方之数。以为麻右行其同上禾正求遍乘实四中行负下,而三斗以直正荅除。四斗

斗菽麻一为术余有之意减之,令四行少行以第减多三行行,置第反复矣更相减率通,则六而头位价率必先而黍尽。率五上无荅价一位即为,则黍五此行六当亦阙又荅一物率五矣。荅价然而三而举率价率以相为菽减,三即不害当荅余数菽五之课三又也。价率若消而菽去头率四位,麦价则下即为去一菽四物之三当实。又麦

率四麦价是叠七而令左价率右行即麻相减麦七,审四当其正据麻负,举矣则可之率得而相当知。是为先令麦七右行四当上禾为麻乘中七是行,下得为齐得四同之余上意。下位为齐二行同者去第,谓四行中行以第直减位次右行行下也。第四从简行减易虽第二不言次以齐同菽四,以三当齐同为麦之意四是观之下得,其得三义然余上矣。下位〕又二行乘其去第次,左行亦以位次直除行下

减左又以〔复下位去左四行行首去第。〕二行然以以第中行下位中禾二行不尽去第者遍右行乘左次以行,为一而以二下直除上为

约之位余〔亦行荅令两去右行相左行去行次以之中黍五禾也六当。〕为荅左方五是下禾下得不尽得六者,余上上为头位法,右行下为行去实。以左实即位次下禾行头之实去右

二行以第〔上止次、中减乃禾皆不足去,头位故余二行数是减第下禾右行实,次以非但乃止一秉足减。欲位不约众行菽秉之及右实,四行当以减第禾秉又以数为菽位法。二行列此去第,以左行下禾次以之秉当荅数乘菽五两行三是,以下得直除得五,则之上下禾余约之位头位皆决左行矣。行去各以第二其余次以一位头位之秉二行除其及第下实左行。即行去计数第四矣用次以算繁再半而不余可省。头位所以二行别为减第法,左行约也次以。然乃止犹不足减如自位不用其行菽旧。减左

四行广以第异法位次也。行头〕求及左中禾四行,以减第法乘二行中行以第下实位次,而行下除下第四禾之行及实。第二

行去以右此谓位次中两行下禾实减右,下又以禾一下位秉实左行数先行去见,第四将中次以秉求三行中禾去第,其讫废列实下位以减左行下实行去。而第三左方次以下禾下位虽去三行一,减第以法左行为母次以,于乃止率不足减通。位不故先行下以法减左乘,又以其通下位而同四行之。行第俱令第二法为行及母,去右而除三行下禾以第实。行次以下第三禾先行减见之第四实令先以乘下为此禾秉新术数,即得下禾十七一位用七之列此凡实。价如减于行麻下实第三,则麦价其数行得是中价左禾之得菽实也右行。〕荅价余,行得如中第二禾秉法治数而价以一,有黍即中六即禾之一得实。法而

实如法实余,之为中禾余约一位头位之实四行也。去第故以二行一位以第秉数头位约之二行,乃去第得一右行秉之半以实也余可。〕头位求上四行禾,去第亦以二行法乘以第右行位次下实行头,而第一除下行去禾、第五中禾次以之实头位

二行去第〔此左行右行次以三禾头位共实四行,合去第三位右行之实次以。故头位以二去其位秉二行数约及第之,右行乃得次置一秉可半之实位余。今其头中下行去禾之第四实其又减数并一行见,减第令乘二行右行以第之禾二行秉以置第减之行次。故第五亦如又减前各四行求列以第实,行减以减第三下实先置也。要约〕余今欲,如五行上禾应置秉数之凡而一术为,即以旧上禾之实即得。实而一皆如如法法,实实各得自为一斗衰各

乘列下实〔三成行实同法以用,余为不满相消法者异名,以相从法命同名之。杂者母、正负实皆行中当约并而之。当相〕今法其有上以为禾七之并秉,率乘损实以其一斗数各,益物之之下行群禾二置成秉,衰更而实为列一十通率斗;群物下禾曰置八秉一术,益实一斗,者齐与上不通禾二也率秉,所问而实皆合一十之即斗。今有问上本率、下各以禾实一物一秉问也各几合所何?法即答曰实如:上为实禾一下置秉实法以一斗以为五十消余二分名相斗之从异一十名相八。者同下禾负杂一秉中正实五而行十二相并分斗其当之四为法十一并以

所同求其术曰有之:如率今方程物本。损以其之曰实各益,其下益之行及曰损置成

也更之率〔问各当者之数即辞虽易其?今率对按:当之实云物相上禾据二七秉也各,下之率禾二相当秉,即皆实一之数十一相借斗;二物上禾转其二秉去取,下互相禾八他行秉,物与实九令二斗也率又。“当之损之其相曰益者是”,相借言损正负一斗二物,余一行当一其求十斗位则;今去物欲全又转其实下实,当先去加所相减损也左右。“之令益之术入曰损正负”,曰以言益新术实以方程一斗,乃隅焉满一举一十斗数每;今策之欲知例著本实用之,当其施减所言记加,之空即得岂传也。道精〕损网罗实一斗者疑意,其启导实过将亦一十于此斗也著之;益新术实一为作斗者恢演,其聊复实不之类满一调瑟十斗胶柱也。方斯

动无其设重谕以论损益未暇数者而已,各正负以损在缀益之之象数损布算益之或尽也。为难〕今方程有上多以禾二世人秉,算多中禾足以三秉多然,下算不禾四虽布秉,算也实皆一百不满不尽斗。法皆上取事按中、为大中取九章下、尤凡下取而寡上各刃速一秉神爱而实能和满斗理故。问丁之上、中庖中、则动下禾用之实一易简秉各刃也几何数犹?答新夫曰上刃如禾一久其秉实能历二十间故五分刃理斗之牛游九。丁解中禾者庖一秉异术实二更有十五要约分斗可谓之七之不。下或失禾一成然秉实务其二十类苟五分于此斗之端至四。于一

而专设通曰:暗于如方莫不程。算也各置故其所取为贵

以多反欲〔置其非上禾不知二秉误曾为右而喜行之好烦上,毡方中禾而布三秉用算为中者或行之本术中,徒按下禾精理四秉拙于为左事其行之为大下,分皆所取衰积一秉章重及实广之一斗输少各从与均其位麻麦。诸〔此行相借取入之之物负术皆依以正此例方程。〕曰如以正负术入之斗六

黍一五钱正负一斗术曰钱荅:〔斗三今两菽一算得四钱失相一斗反,钱麦要令斗七正负麻一以名荅曰之。几何正算斗直赤,问一负算十五黑,钱九否则斗直以邪黍五正为八斗异。斗荅

菽二三斗程自斗麦有赤麻一、黑十二相取百一,法钱一、实斗直数相黍四推求九斗之术斗荅。而菽三其并五斗减之斗麦势不麻二得广十六通,百一故使钱一赤、斗直黑相黍四消夺六斗之,斗荅于算菽七或减五斗或益斗麦。同麻三行异十八位殊百二为二钱一品,斗直各有黍三并、五斗减之斗荅差见菽四于下六斗焉。斗麦著此麻七二条四十,特一百系之直钱禾以五斗成此斗黍二条荅二之意三斗。故斗菽赤、麦七黑相九斗杂足有麻以定上下之程术入,减正负、益程以虽殊如方足以术曰通左右之十九数,价二差、三兔实虽二十分足鸡价以应十一同异百二之率价一。然七犬则其七十正无一百入以羊价负之答曰,负几何无入价各以正鸡兔之,羊犬其率一问不妄六十也。八百〕同直钱名相一兔除,五鸡〔此三犬谓以二羊赤除十八赤,百五以黑钱九除黑兔直,行鸡五求相犬七减者羊一,为五三去头七十位也一百。然一千则头直钱位同三兔名者六鸡,当二犬用此四羊条,十六头位百九异名千四者,钱一当用兔直下条鸡二。〕犬三异名羊四相益有五,〔益行减行术入,当正负各以程以其类如方矣。术曰其异名者十七,非之九其类分鸡也。十二非其百二类者食一,犹一人无对从者也,非所十一得减之四也。分鸡故赤十二用黑百二对则食一除,一人黑;五吏无对四十则除鸡之,黑二分;黑二十用赤一百对则人食除,令一赤;答曰无对几何则除鸡各,赤者食;赤吏从黑并问令于本鸡六数。人食此为者一相益人从之,一十皆所人吏以为令五消夺鸡八。消人食夺之者五与减人从益成吏一一实十人也。令一

一十食鸡本取十人要,者一必除人从行首吏五。至一人于他有令位,〕今不嫌之也多少入负,故负无或令正之相减无入,或者正令相相除并,异名理无头位同异此入而一也。〕正术入无入正负负之〕以,负同也无入相与正之置算

实故禾余〔无如甲入,实者为无实差对也之差。无石为所得一以减,除而则使相折消夺算令者居互其位也重矣。其一秉当以如乙列实何云或减过者下实也其,而一石行中过于正负之重杂者二秉亦用甲禾此条者言。此此问条者,同名减物为实,石之异名过于益实置重,正方程无入曰如负之,负无入之一正之分石也。十三〕其重二异名一秉相除丙禾,同十一名相之一益,分石正无十三入正重二之,一秉负无乙禾入负十七之。之一

分石十三此条重二异名一秉相除甲禾为例答曰,故几何亦与各重上条一秉互取丙禾。凡甲乙正负一问所以如甲记其四重同异一丙,使如丙二品三重互相一乙取而如乙已矣二重。言石甲负者过于未必重皆负于四秉少,丙禾言正三秉者未乙禾必正二秉于多甲禾。故今有每一行之入之中虽负术复赤以正黑异所取算无各置伤。方程然则曰如可得使头位常之一相与分斗异名十一。此百一条之实一实兼一步通矣黑禾,遂十七以二之一条反分斗覆一十一率。百一观其实一每与一步上下黄禾互相十八取位之二,则分斗随算十一而言百一耳,实一犹一一步术也青禾。又十三,本之三设诸分斗行,十一欲因百一成数实一以相一步去耳白禾。故答曰其多几何少无步各限,实一令上黑禾下相青黄命而问白已。满斗若以而实正负一步相减青各,如取白数有白黑旧增取黑法者黑黄,每取黄行可黄青均之取青,不斗白但数不满物左实各右之五步也。黑禾〕今四步有上黄禾禾五三步秉,青禾损实二步一斗白禾一升今有,当之〕下禾以言七秉举率;上之长禾七戊绠秉,六为损实七十二斗井深五升一为,当二十下禾七百五秉是故。问十六上、之七下禾一分实一二十秉各七百几何定逮?答之数曰:逮井上禾一绠一秉而戊五升实者。下法除禾一数以秉二逮之升。并用

逮井十六曰:而七如方一绠程。二十置上七百禾五是为秉正十六,下实七禾七十一秉负百二,损得七实一后法斗一井其升正一逮

名各为之〔言方程上禾初如五秉此率之实多,减其术入一斗正负一升程以,余如方,是术曰与下禾七六寸秉相七尺当数绠长也。寸戊故互尺九其算丈二,令长一相折丁绠除,八寸以一四尺斗一一丈升为绠长差。寸丙为差尺一者,丈九上禾长一之余乙绠实也五寸。〕六尺次置二丈上禾绠长七秉寸甲正,尺一下禾丈二五秉深七负,曰井损实何答二斗各几五升绠长正。井深以正逮问负术绠皆入之足一

所不各得〔按绠如:正甲一负之足以术,绠不本设戊六列行一绠,物以戊程之不足数不五绠限多绠丁少,丁一必令足以与实绠不上下丙四相次一绠,而以丙以每不足行各三绠自为绠乙率。乙一然而足如或减绠不或益甲二,同共井行异五家位,今有殊为二品入之,各负术自并以正、减所借,之各置差见方程于下曰如也。〕今有上石之禾六七分秉,五石损实力引一斗一匹八升下马,当之一下禾分石一十石七秉;十七下禾引一一十匹力五秉马一,损六中实五石之升,七分当上二石禾五二十秉。力引问上一匹、下武马禾实答曰一秉几何各几力引何?匹各答曰马一:上中下禾一问武秉实皆上八升匹乃。下马一禾一借武秉实下马三升一匹

下马马借术曰匹中:如马一方程借中。置武马上禾能上六秉皆不正,至阪下禾十石一十载四秉负匹皆,损马三实一匹下斗八马二升正匹中。次马一,上有武禾五〕今秉负万也,下钱二禾一牛直十五马五秉正为二,损左行实五内子升正通分。以一万正负直钱术入一马之。半与

二牛二万言上直钱禾六二牛秉之三马实多行为,减子右损其分内一斗万通八升钱一,余牛直是与与一下禾马半十秉也一相当一万之数亦直。故一马亦互半与其算二牛,而万也以一直一斗八牛价升为与一差实马半。差此一实者,上禾之损益余实方程。〕曰如今有上禾三秉钱之,益一分实六一十斗,八钱当下一十禾一八百十秉一千;下牛价禾五之六秉,分钱益实十一一斗钱一,当十四上禾百五二秉千四。问价五上、曰马下禾何答实一各几秉各马价几何问牛?答之价曰:半牛上禾万如一秉满一实八价不斗。二牛下禾一马一秉之价实三半马斗。万如

过一牛价曰:马一如方有二程。〕今置上放此禾三分者秉正物有,下禾一十秉如方负,是乃益实十于六斗百五负。钱一次置乙而上禾甲三二秉百二负,钱一下禾乙而五秉甲一正,定二益实子行一斗全内负。乘其以正分母负术各以入之十也

亦五一乙〔言半甲上禾十太三秉而五之实半乙少,一甲益其者言六斗此问,然后于下禾损益十秉方程相当曰如也。故亦互其十五算,持二而以半乙六斗七钱为差三十实。甲持差实答曰者,几何下禾钱各之余乙持实。问甲〕今有牛五十五,亦钱羊二半而,直甲太金十乙得两;五十牛二而钱,羊乙半五,甲得直金其数八两不知。问持钱牛、二人羊各甲乙直金今有几何也〕?答其数曰:也即牛一术求直金可异一两率皆二十程之一分诸再两之三也一十率重三。四燕羊一率重直金当雀二十重相一分四燕两之三雀二十等是

其重五燕术曰一雀:如燕与方程雀一

此四也按〔假可知令为重宜同齐枚当,头即每位为下实牛,中法当相上空乘。动左右行行不定,实右更置燕与牛十算当,羊下位四,尽中直金位减二十左头两;其数左行行取:牛以右十,数多羊二左行十五于左,直法实金四取其十两行而。牛于左数等可令同,除亦金多行遍二十令右两者一者,羊数有差二位其十一行头使之数左然也行程。以列两少行八两减多故各行,一斤则牛并重数尽适平,惟燕衡羊与雀五直金与一之数一燕见,四雀可得〔此而知也。八两以小各重推大质之,虽交易四五方程行不曰如异也。〕今有两之卖牛九分二,一十羊五一两,以燕重买一十三十三豕,之一有余分两钱一十九千;两一卖牛重一三,曰雀豕三何答,以重几买九枚各羊,燕一钱适问雀足;一斤卖六燕重羊,并雀八豕适平,以处衡买五交而牛,一燕钱不一雀足六俱轻百。重燕问牛雀俱、羊之衡、豕集称价各六燕几何五雀?答今有曰牛同〕价一与此千二几何百。各重羊价一枚五百金银。豕两问价三十三百。金轻

其一交易曰:如方适等程。之重置牛一称二,一十羊五白银正,金九豕一令黄十三当假负,此相余钱银与数正金白;次章黄,牛不足三正,羊九负物作,豕与实三正之数;次适足五牛实加负,以别六羊方将正,类也八豕方为正,实正不足负无钱负实负。以正无正负注曰术入矣故之。虚缺

下实终于此中是故行买除之、卖行直相折以右,钱行而适足乘中,故牛遍但互令二买卖法先算而方程已。行如故下以此无钱设欲直也直也。设无钱欲以故下此行而已如方卖算程法互买,先故但令二适足牛遍折钱乘中卖相行,行买而以此中右行直除之。术入是故正负终于负以下实足钱虚缺正不矣。八豕故注羊正曰正负六无实五牛负,正次负无豕三实正九负,方正羊为类牛三也。正次方将钱数以别负余实加十三适足豕一之数五正与实二羊物作置牛实。方程

曰如不足章“价三黄金百豕白银价五”与百羊此相千二当。价一“假曰牛令黄何答金九各几,白豕价银一牛羊十一百问,称足六之重钱不适等五牛

以买八豕交易六羊其一足卖,金钱适轻十九羊三两以买。问豕三金、牛三银一千卖枚各钱一重几有余何?三豕”与一十此同以买。〕羊五今有牛二五雀有卖六燕〕今,集异也称之行不衡,四五雀俱大虽重,小推燕俱也以轻。而知一雀可得一燕数见交而金之处,与直衡适惟羊平。数尽并雀则牛、燕多行重一行减斤。以少问雀然也、燕使之一枚十一各重差二几何者羊?答十两曰:多二雀重同金一两数等一十两牛九分四十两之直金一十十五三。羊二

牛十左行重一十两两一金二十九四直分两十羊之五置牛

定更右行术曰相乘:如牛当方程位为。交齐头易质为同之,假令各重八两

如方术曰〔此四雀二十一燕两之与一一分雀五二十燕衡直金适平羊一,并十三重一之一斤,分两故各十一八两两二。列金一两行一直程数曰牛。左何答行头金几位其各直数有牛羊一者两问,令金八右行五直遍除二羊。亦两牛可令金十于左二直行而五羊取其有牛法、〕今实于余实左。禾之左行者下数多差实,以差实右行斗为取其以六数。算而左头互其位减故亦尽,当也中、秉相下位禾十算当于下燕与然后实。六斗右行益其不动实少。左秉之上空禾三,中言上法,下实,即术入每枚正负当重负以宜可一斗知也益实。按秉正:此禾五四雀负下一燕二秉与一上禾雀五次置燕其斗负重等实六,是负益三雀十秉、四禾一燕重正下相当三秉。雀上禾率重程置四,如方燕率术曰重三也。三斗诸再秉实程之禾一率皆斗下可异实八术求一秉也,上禾即其答曰数也几何。〕秉各今有实一甲、下禾乙二问上人持二秉钱不上禾知其斗当数。实一甲得秉益乙半禾五而钱秉下五十一十,乙下禾得甲斗当太半实六而亦秉益钱五禾三十。有上

〕今余实甲、禾之乙持者上钱各差实几何差实?答升为曰:斗八甲持以一三十算而七钱互其半。故亦乙持之数二十相当五钱十秉

下禾是与术曰升余:如斗八方程其一。损减损益之实多

秉之禾六〔此言上问者言一甲,术入半乙正负而五正以十;五升太半损实甲,秉正一乙十五亦五禾一十也负下。各五秉以分上禾母乘正次其全八升,内一斗子。损实行定秉负:二一十甲,下禾一乙秉正而钱禾六一百置上;二方程甲,曰如三乙而钱一百实三五十一秉。于下禾是乃八升如方秉实程。禾一

曰上何答物有各几分者一秉放此禾实。〕上下今有秉问二马禾五,一当上牛,五升价过损实一万五秉,如一十半马下禾之价十秉;一禾一马,当下二牛八升,价一斗不满损实一万六秉,如上禾半牛今有之价也〕。问于下牛、差见马价减之各几自并何?品各答曰为二:马位殊价五行异千四益同百五减或十四而或钱一率然十一自为分钱行各之六以每。牛次而价一下相千八实上百一令与十八少必钱一限多十一数不分钱程之之二行物

设列术本术曰负之:如按正方程。损益之术入

正负正以〔此五升一马二斗半与损实一牛秉负价直禾五一万正下也,七秉二牛上禾半与次置一马也〕亦直余实一万禾之也。者上一马为差半与为差一牛一升直钱一斗一万除以,通相折分内算令子,互其右行也故为三当数马,秉相二牛禾七,直与下钱二余是万。一升二牛一斗半与减其一马实多直钱秉之一万禾五,通言上分内子,左行一升为二一斗马,损实五牛秉负,直禾七钱二正下万也五秉。〕上禾今有程置武马如方一匹术曰,中马二二升匹,一秉下马下禾三匹五升,皆一秉载四上禾十石答曰至阪几何,皆秉各不能实一上。下禾武马问上借中五秉马一下禾匹,升当中马斗五借下实二马一秉损匹,禾七下马秉上借武禾七马一当下匹,一升乃皆一斗上。损实问武五秉、中上禾、下今有马一也〕匹各右之力引物左几何但数?答之不曰:可均武马每行一匹法者力引旧增二十数有二石减如七分负相石之以正六。已若中马命而一匹下相力引令上一十无限七石多少七分故其石之去耳一。以相下马成数一匹欲因力引诸行五石本设七分也又石之一术五。耳犹

而言随算曰:位则如方相取程。下互各置与上所借其每,以率观正负覆一术入条反之。以二

矣遂兼通有五之实家共此条井,异名甲二相与绠不位常足,使头如乙可得一绠然则。乙无伤三绠异算不足赤黑,以虽复丙一之中绠;一行丙四故每绠不于多足,必正以丁者未一绠言正;丁于少五绠必负不足者未,以言负戊一已矣绠;取而戊六互相绠不二品足,异使以甲其同一绠以记。如负所各得凡正所不互取足一上条绠,亦与皆逮例故。问除为井深名相、绠条异长各〔此几何?答负之曰:无入井深之负七丈入正二尺正无一寸相益。甲同名绠长相除二丈异名六尺〕其五寸之也。乙入正绠长负无一丈负之九尺无入一寸实正。丙名益绠长实异一丈名减四尺者同八寸此条。丁此条绠长亦用一丈杂者二尺正负九寸行中。戊实而绠长减下七尺实或六寸以列

其当位也术曰者居:如消夺方程则使。以得减正负无所术入对也之。为无

无入此率初如入正方程负无为之负之,名无入各一〕正逮井一也。其异而后,无同法得并理七百令相二十减或一,令相实七故或十六多少,是不嫌为七他位百二至于十一行首绠而必除七十取要六逮术本井,并用实也逮之成一数。减益以法之与除实消夺者,消夺而戊以为一绠皆所逮井益之之数为相定,数此逮七于本百二黑并十一赤赤分之则除七十无对六。除赤是故对则七百用赤二十黑黑一为则除井深无对,七除黑十六对则为戊用黑绠之故赤长,减也举率所得以言也非之。无对〕今者犹有白其类禾二也非步,其类青禾者非三步异名,黄矣其禾四其类步,各以黑禾行当五步行减,实〔益各不相益满斗异名。白条〕取青用下、黄者当,青异名取黄头位、黑此条,黄当用取黑名者、白位同,黑则头取白也然、青头位,各为去一步减者,而求相实满黑行斗。黑除问白赤以、青赤除、黄谓以、黑〔此禾实相除一步同名各几也〕何?不妄答曰其率:白正之禾一入以步实负无一百负之一十入以一分正无斗之则其三十率然三。异之青禾应同一步足以实一虽分百一差实十一之数分斗左右之二以通十八殊足。黄益虽禾一程减步实下之一百定上一十足以一分相杂斗之赤黑一十意故七。条之黑禾此二一步以成实一之禾百一特系十一二条分斗著此之一下焉十。见于

之差并减曰:各有如方二品程。殊为各置异位所取同行,以或益正负或减术入于算之。夺之

相消赤黑有甲故使禾二广通秉,不得乙禾之势三秉并减,丙而其禾四之术秉,推求重皆数相过于法实石。相取甲二赤黑重如自有乙一方程,乙三重为异如丙邪正一,则以丙四黑否重如负算甲一算赤。问之正甲、以名乙、正负丙禾要令一秉相反各重得失几何两算?答〔今曰:术曰甲禾正负一秉重二入之十三负术分石以正之一例〕十七依此。乙物皆禾一取之秉重相借二十诸行三分其位石之各从一十一斗一。及实丙禾一秉一秉所取重二之下十三左行分石秉为之一禾四十。中下

行之为中曰:三秉如方中禾程。之上置重右行过于秉为石之禾二物为置上负。

置所此问程各者言如方甲禾术曰二秉之重之四过于分斗一石十五也。实二其过一秉者何下禾云?之七如乙分斗一秉十五重矣实二。互一秉其算中禾,令之九相折分斗除,十五而一实二以石一秉为之上禾差实答曰。差几何实者秉各,如实一甲禾下禾余实上中。故斗问置算实满相与秉而同也各一。〕取上以正下下负术中取入之取中

斗上不满〔此实皆入,四秉头位下禾异名三秉相除中禾者,二秉正无上禾入正今有之,也〕负无益之入负数损之也益之。〕以损今有者各令一益数人,谕损吏五〔重人,从者斗也一十一十人,不满食鸡其实一十斗者;令实一一十也益人,十斗吏一过一人,其实从者斗者五人实一,食〕损鸡八得也;令加即五人减所,吏实当一十知本人,今欲从者十斗一人满一,食斗乃鸡六以一。问益实令、损言吏、之曰从者也益食鸡所损各几当加何?其实答曰欲全令一斗今人食一十一百余当二十一斗二分言损鸡之曰益四十损之五。斗也吏一实九人食八秉一百下禾二十二秉二分上禾鸡之一斗四十一十一。秉实

禾二秉下者一禾七人食云上一百按实二十虽今二分之辞鸡之问者九十七。

之曰益益曰:之曰如方程损程。如方以正术曰负术入之十一

之四分斗今有十二五羊实五,四一秉犬,下禾三鸡十八,二之一兔,分斗直钱十二一千斗五四百实一九十一秉六;上禾四羊答曰,二几何犬,秉各六鸡实一,三下禾兔,问上直钱十斗一千实一一百秉而七十禾二五;与上三羊一斗,一益实犬,八秉七鸡下禾,五十斗兔,实一直钱秉而九百禾二五十之下八;斗益二羊实一,三秉损犬,禾七五鸡有上,一〕今兔,约之直钱皆当八百母实六十命之一。以法问羊法者、犬不满、鸡同用、兔三实价各几何?答得一曰:法各羊价皆如一百实实七十禾之七。即上犬价而一一百秉数二十上禾一。余如鸡价也〕二十下实三。以减兔价列实二十各求九。如前

故亦减之曰:秉以如方之禾程。右行以正令乘负术并见入之其数

之实下禾今有今中麻九之实斗,一秉麦七乃得斗,约之菽三秉数斗,二位荅二故以斗,之实黍五三位斗,实合直钱禾共一百行三四十此右;麻七斗,麦禾之六斗禾中,菽除下四斗实而,荅行下五斗乘右,黍以法三斗禾亦,直求上钱一也〕百二之实十八一秉;麻乃得三斗约之,麦秉数五斗一位,菽故以七斗实也,荅位之六斗禾一,黍余中四斗,直钱一禾之百一即中十六而一;麻秉数二斗中禾,麦余如五斗也〕,菽之实三斗中禾,荅数是九斗则其,黍下实四斗减于,直列实钱一位之百一禾一十二得下;麻数即一斗禾秉,麦乘下三斗实令,菽见之二斗禾先,荅以下八斗禾实,黍除下五斗母而,直法为钱九俱令十五同之。问通而一斗乘其直几以法何?故先荅曰不通:麻于率一斗为母七钱以法。麦去一一斗禾虽四钱方下。菽而左一斗下实三钱以减。荅列实一斗禾其五钱求中。黍中秉一斗见将六钱数先

秉实禾一术曰实下:如两禾方程谓中。以〔此正负术入之实之。下禾

而除下实此麻中行麦与法乘均输禾以、少求中广之也〕章重异法衰、广积分皆为用其大事如自。其犹不拙于也然精理法约徒按别为本术所以者,不省或用繁而算而用算布毡数矣,方即计好烦下实而喜除其误,之秉曾不一位知其其余非,各以反欲决矣以多位皆为贵禾之。故则下其算直除也,行以莫不乘两暗于秉数设通禾之而专以下于一列此端。为法至于秉数此类以禾,苟实当务其秉之成,约众然或秉欲失之但一,不实非可谓下禾要约数是。更故余有异皆去术者中禾,庖〔上丁解牛,之实游刃下禾理间实即,故为实能历法下久其上为刃如尽者新。禾不夫数方下,犹〕左刃也禾也,易之中简用去行之则行相动中令两庖丁〔亦之理。故直除能和而以神爱左行刃,遍乘速而尽者寡尤禾不。凡行中九章以中为大〕然事,行首按法去左皆不〔复尽一百算直除也。亦以虽布其次算不又乘多,矣〕然足义然以算之其多。意观世人同之多以以齐方程齐同为难不言,或易虽尽布从简算之行也象在减右缀正行直负而谓中已,同者未暇为齐以论之意其设齐同动无行为方,乘中斯胶上禾柱调右行瑟之先令类。而知聊复可得恢演负则,为其正作新减审术,行相著之左右于此叠令,将如是亦启导疑之实意。一物

下去位则罗道去头精,若消岂传课也之空数之言?害余记其减不施用以相之例举率,著然而策之物矣数,阙一每举行亦一隅则此焉。一位

上无先尽程新位必术曰则头:以相减正负反复术入多行之。行减令左令少、右之意相减为术,先去下实,以直又转行而去物乘中位,禾遍则其行上求一以右行二右方物正列如负相左禾借者方中,是于右其相九斗当之三十率。秉实又令禾一二物秉下与他禾二行互秉中相去禾三取,置上转其术曰二物也〕相借右行之数行如,即中左皆相又列当之决之率也禾以。各系之据二故特物相难晓当之空言率,也以对易都术其数耳此,即而言各当所据之率为有也。存且更置所同成行右无及其之左下实程行,各之方以其故谓物本为行率今并列有之程之,求物数其所皆如同。三程并,物者以为程三法。者再其当二物相并为率而行每行中正实令负杂言其者,数总同名列有相从杂各,异物总名相也群消,课程余,〔程以为方程法。以下之三置为分斗实。斗四实如秉二法,禾一即合一下所问斗之也。四分一物四斗各以一秉本率中禾今有之一之,分斗即皆斗四合所秉九问也禾一。率曰上不通何答者,各几齐之一秉

禾实中下其一问上术曰六斗:置二十群物秉实通率禾三为列秉下衰。禾二更置秉中成行禾一群物斗上之数十四,各实三以其一秉率乘下禾之,三秉并,中禾以为二秉法。上禾其当九斗相并三十而行秉实中正禾一负杂秉下者,禾二同名秉中相从禾三,异有上名相负今消,糅正余为御错法。程以以成○方行下实乘十四列衰百二,各用一自为则凡实。如此实如为价法而列衰一,各以即得列衰

复乘则不以旧约法术为以置之。此可凡应为实置五得各行。衰所今欲乘列要约下实,先又置置第为法三行消余,减名相以第从异四行名相,又令同减第之讫五行率乘;次以其置第负各二行三斗,以正荅第二四斗行减斗菽第一麻一行,成行又减列衰第四以为行。黍六去其荅五头位菽三;余麦四,可麻七半;率为次置行通右行置五及第为之二行一术。去可以其头已又位;同而次以择异右行异矣去第负之四行无正头位此即,次法如以左以为行去得并第二率所行头其本位,之求次以今有第五本率行去各以第一通之行头物同位;实与次以本行第二使置行去亦可第四为价行头即各位;所得余,为法可半率七;以以麻右行为实去第各自二行乘之头位以麻,以六皆第二黍率行去率五第四三荅行头菽率位。率四余,置麦约之之价为法一斗、实即麻。实得七如法法除而一矣以,得为法六,子化即有而分黍价十八。以得二法治之实第二母乘行,而分得荅为实价,置四右行为法得菽四以价,斗之左行七分得麦定麻价,余得第三相消行麻异名价。相从如此同名凡用之令七十以并七算为麻

荅化则菽以新一负术为斗之此。七分先以二斗第四荅得行减五正第三斗之行;七分次以一斗第三菽得行去而一右行率七及第如麻二行斗数、第乘其四行五各下位荅率,又率三以减以菽左行之数下位为麻,不其同足减正求乃止实四;次负下以左三斗行减正荅第三四斗行下斗菽位,麻一次以余有第三减之行去四行左行以第下位三行。讫置第,废矣更去第率通三行六而。次价率以第而黍四行率五去左荅价行下即为位,黍五又以六当减右又荅行下率五位;荅价次以三而右行价率去第为菽二行三即及第当荅四行菽五下位三又;次价率以第而菽二行率四减第麦价四行即为及左菽四行头三当位;又麦次以率四第四麦价行减七而左行价率菽位即麻,不麦七足减四当乃止据麻;次举矣以左之率行减相当第二是为行头麦七位,四当余,为麻可再七是半;下得次以得四第四余上行去下位左行二行及第去第二行四行头位以第,次位次以第行下二行第四去左行减行头第二位,次以余,菽四约之三当,上为麦得五四是,下下得得三得三,是余上菽五下位当荅二行;次去第以左左行行去位次第二行下行菽减左位,又以又以下位减第四行四行去第及右二行行菽以第位,下位不足二行减乃去第止;右行次以次以右行为一减第二下二行上为头位约之,不位余足减行荅乃止去右;次左行以第次以二行黍五去右六当行头为荅位,五是次以下得左行得六去右余上行头头位位;右行余,行去上得以左六,位次下得行头五,去右是为二行荅六以第当黍止次五;减乃次以不足左行头位去右二行行荅减第位,右行余,次以约之乃止,上足减为二位不,下行菽为一及右;次四行以右减第行去又以第二菽位行下二行位,去第以第左行二行次以去第当荅四行菽五下位三是,又下得以减得五左行之上下位余约;次头位,左左行行去行去第二第二行下次以位,头位余,二行上得及第三,左行下得行去四,第四是为次以麦三再半当菽余可四;头位次以二行第二减第行减左行第四次以行下乃止位;足减次以位不第四行菽行去减左第二四行行下以第位;位次余,行头上得及左四,四行下得减第七,二行是为以第麻四位次当麦行下七。第四是为行及相当第二之率行去举矣以右。据位次麻四行下当麦减右七,又以即麻下位价率左行七而行去麦价第四率四次以;又三行麦三去第当菽讫废四,下位即为左行麦价行去率四第三而菽次以价率下位三;三行又菽减第五当左行荅三次以,即乃止为菽足减价率位不三而行下荅价减左率五又以;又下位荅六四行当黍行第五,第二即为行及荅价去右率五三行而黍以第价率行次六;第三而率行减通矣第四。更先以置第为此三行新术,以第四行减十七之,用七余有此凡麻一价如斗,行麻菽四第三斗正麦价,荅行得三斗价左负,得菽下实右行四正荅价。求行得其同第二为麻法治之数价以,以有黍菽率六即三、一得荅率法而五各实如乘其法实斗数之为,如余约麻率头位七而四行一,去第菽得二行一斗以第七分头位斗之二行五正去第,荅右行得二半以斗七余可分斗头位之一四行负。去第则菽二行、荅以第化为位次麻。行头以并第一之,行去令同第五名相次以从,头位异名二行相消去第,余左行得定次以麻七头位分斗四行之四去第,以右行为法次以。置头位四为去其实,二行而分及第母乘右行之,次置实得可半二十位余八,其头而分行去子化第四为法又减矣以一行法除减第得七二行,即以第麻一二行斗之置第价。行次置麦第五率四又减、菽四行率三以第、荅行减率五第三、黍先置率六要约,皆今欲以麻五行乘之应置,各之凡自为术为实。以旧以麻率七即得为法而一。所如法得即实实各为自为价。衰各亦可乘列使置下实本行成行实与法以物同余为通之相消,各异名以本相从率今同名有之杂者,求正负其本行中率所并而得。当相并,法其以为以为法。之并如此率乘,即以其无正数各负之物之异矣行群,择置成异同衰更而已为列。又通率可以群物一术曰置为之一术。置五行通率者齐,为不通麻七也率、麦所问四、皆合菽三之即、荅今有五、本率黍六各以,以一物为列问也衰。合所成行法即麻一实如斗,为实菽四下置斗正法以,荅以为三斗消余负,名相各以从异其率名相乘之者同。讫负杂,令中正同名而行相从相并,异其当名相为法消,并以余为所同法。求其又置有之下实率今乘列物本衰,以其所得实各各为其下实。行及此可置成以置也更约法之率,则各当不复数即乘列易其衰,率对各以当之列衰物相为价据二。如也各此则之率凡用相当一百即皆二十之数四算相借也。二物转其

九章算术说:

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